Platonische Körper und Archimedische Körper (reguläre und halbreguläre Polyeder) Fragen (werden beantwortet) und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de Hier geht es zur Hauptseite mit den Themen: Mathematik im Alltag Verblüffende Mathematik-Rätsel Stochastik und Polyeder Irdisches und außerirdisches Leben

Während platonische Körper an ihrer Oberfläche nur regelmäßige Vielecke einer Sorte besitzen, haben archimedische Körper regelmäßige Vielecke von mehr als einer Sorte. Von jeder Ecke eines dieser Polyeder aus betrachtet haben nicht nur die benachbarten, sondern alle Flächen die gleiche Anordnung. Die Ecken dieser Körper sehen also jeweils alle gleich aus und liegen alle auf der Oberfläche einer umhüllenden Umkugel. Es gibt genau 5 platonische Körper und 13 archimedische Körper, wobei erwähnt werden sollte, dass zwei archimedische Körper (abgeschrägtes Hexaeder und abgeschrägtes Dodekaeder) in jeweils zwei spiegelbildlich entgegengesetzten Varianten auftreten. Die folgende Abbildung zeigt die 5 platonischen Körper und die 13 archimedischen Körper:

Zusätzlich gibt es noch unendliche viele Prismen und Antiprismen, die die obigen Bedingungen erfüllen. Die Prismen und Antiprismen haben als Deckenfläche und Bodenfläche jeweils ein regelmäßiges Vieleck. Die Seitenflächen bestehen beim Prisma aus Quadraten und beim Antiprisma aus gleichseitigen Dreiecken. Dass es nicht mehr Polyeder dieser Art gibt, kann man durch Betrachtung der Anordnung und der Innenwinkel der an jeder Ecke zusammenstoßenden Vielecke zeigen. Es müssen ja an jeder Ecke mindestens 3 Vielecke zusammenstoßen und die Summe ihrer zusammenstoßenden Innenwinkel muss kleiner als 360° sein. Daraus folgt, dass es nicht mehr als 5 platonische Körper geben kann, weil man nur 3, 4 oder 5 gleichseitige Dreiecke, 3 Quadrate oder 3 regelmäßige Fünfecke unter den angegebenen Bedingungen zusammenfügen kann.

Überträgt man diese Überlegungen auf den zweidimensionalen Raum, so muss man Vielecke suchen, die einen Umkreis besitzen. Besteht der Rand ("Oberfläche") dieser Vielecke aus gleich langen Strecken, bekommt man regelmäßige Vielecke, die den platonischen Körpern im dreidimensionalen Raum entsprechen. Davon gibt es unendlich viele. Sind die begrenzenden Strecken verschieden lang, könnte man von "archimedischen Körpern" sprechen, deren Anzahl ebenfalls unendlich wäre.

Vierdimensionale "Polyeder" werden Polytope genannt. Sie haben dreidimensionale "Oberflächen", die Facetten heißen. Im vierdimensionalen Raum entsprechen den 5 platonischen und 13 archimedischen Körpern 6 reguläre und 3 halbreguläre Polytope. Diese Körper besitzen platonische Körper als Facetten, wobei die regulären Polytope nur eine Sorte von platonischen Körpern haben. Es existiert ein reguläres Polytop mit 5 Tetraedern als Facetten. Es wird Simplex genannt und entspricht dem Tetraeder im dreidimensionalen Raum. Ein weiterer Körper mit 8 Würfeln als Facetten heißt Tesserakt oder Hyperwürfel. Das Kreuzpolytop hat 16 Tetraeder als Facetten und ist mit dem Oktaeder verwandt. Dem Dodekaeder und Ikosaeder entsprechen im vierdimensionalen Raum das 120-Zell und das 600-Zell. Diese beiden regulären Polytope werden von 120 Dodekaedern bzw. 600 Tetraedern begrenzt. Schließlich gibt es noch das 24-Zell mit 24 Oktaedern als Facetten. Für dieses Polytop gibt es keine Entsprechung unter den platonischen Körpern. Die 3 halbregulären Polytope haben als Facetten 5 Tetraeder und 5 Oktaeder, 120 Tetraeder und 24 Ikosaeder, und 600 Oktaeder und 120 Ikosaeder.

An jeder Kante dieser Polytope müssen mindestens 3 platonische Körper zusammenstoßen und die Summe ihrer zusammenstoßenden Flächenwinkel muss kleiner als 360° sein. Daraus folgt, dass es im vierdimensionalen Raum nicht mehr als 6 reguläre Polytope geben kann, weil man nur 3, 4 oder 5 Tetraeder, 3 Würfel, 3 Oktaeder oder 3 Dodekaeder unter den angegebenen Bedingungen zusammenfügen kann. Ab dem fünfdimensionalen Raum gibt es jeweils nur noch drei reguläre Polytope. Sie entsprechen dem Tetraeder, dem Hexaeder (Würfel) und dem Oktaeder im dreidimensionalen Raum.


Erzeugung von platonischen und archimedischen Körpern aus platonischen Körpern

Schneidet man von einem Tetraeder die 4 Ecken so ab, dass aus den 4 gleichseitigen Dreiecken 4 regelmäßige Sechsecke werden, erhält man ein abgestumpftes Tetraeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 4 gleichseitige, aber kleinere Dreiecke entstehen, erhält man ein Oktaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 4 gleichseitigen Dreiecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man wieder ein Tetraeder, weil es zu sich selbst dual ist. Schneidet man dagegen von einem Tetraeder die 6 Kanten und die 4 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 4 gleichseitigen Dreiecken noch 6 Quadrate und weitere 4 gleichseitige Dreiecke entstehen, erhält man ein Kuboktaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Tetraeder die gleichseitigen Dreiecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate und gleichseitige Dreiecke in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Würfel die 8 Ecken so ab, dass aus den 6 Quadraten 6 regelmäßige Achtecke werden, erhält man ein abgestumpftes Hexaeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 6 (aber kleinere) Quadrate entstehen, erhält man ein Kuboktaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 6 Quadrate zu einem Punkt schrumpfen, erhält man ein Oktaeder, weil es zum Würfel dual ist. Schneidet man dagegen von einem Würfel die 12 Kanten und die 8 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 6 Quadraten noch 12 weitere Quadrate und 8 gleichseitige Dreiecke entstehen, erhält man ein Rhombenkuboktaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Würfel die Quadrate so weit auseinander zieht, dass Quadrate und gleichseitige Dreiecke in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Oktaeder die 6 Ecken so ab, dass aus den 8 gleichseitigen Dreiecken 8 regelmäßige Sechsecke werden, erhält man ein abgestumpftes Oktaeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 8 gleichseitige, aber kleinere Dreiecke entstehen, erhält man ein Kuboktaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 8 gleichseitigen Dreiecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man einen Würfel, weil er zum Oktaeder dual ist. Schneidet man dagegen von einem Oktaeder die 12 Kanten und die 6 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 8 gleichseitigen Dreiecken noch 18 Quadrate entstehen, erhält man ein Rhombenkuboktaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Oktaeder die gleichseitigen Dreiecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Dodekaeder die 20 Ecken so ab, dass aus den 12 regelmäßigen Fünfecken 12 regelmäßige Zehnecke werden, erhält man ein abgestumpftes Dodekaeder. Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 12 regelmäßige, aber kleinere Fünfecke entstehen, erhält man ein Ikosidodekaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 12 regelmäßigen Fünfecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man ein Ikosaeder, weil es zum Dodekaeder dual ist. Schneidet man dagegen von einem Dodekaeder die 30 Kanten und die 20 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 12 regelmäßigen Fünfecken noch 30 Quadrate und 20 gleichseitige Dreiecke entstehen, erhält man ein Rhombenikosidodekaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Dodekaeder die regelmäßigen Fünfecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate und gleichseitige Dreiecke in die Lücken passen.

Schneidet man von einem Ikosaeder die 12 Ecken so ab, dass aus den 20 gleichseitigen Dreiecken 20 regelmäßige Sechsecke werden, erhält man ein abgestumpftes Ikosaeder (Fußballkörper). Schneidet man die Ecken noch stärker ab, dass wieder 20 gleichseitige, aber kleinere Dreiecke entstehen, erhält man ein Ikosidodekaeder. Schneidet man schließlich die Ecken so stark ab, dass die 20 gleichseitigen Dreiecke zu einem Punkt schrumpfen, erhält man ein Dodekaeder, weil es zum Ikosaeder dual ist. Schneidet man dagegen von einem Ikosaeder die 30 Kanten und die 12 Ecken so ab, dass neben den verkleinerten 20 gleichseitigen Dreiecken noch 30 Quadrate und 12 regelmäßige Fünfecke entstehen, erhält man ein Rhombenikosidodekaeder. Dieses Polyeder bekommt man auch, wenn man von einem Ikosaeder die gleichseitigen Dreiecke so weit auseinander zieht, dass Quadrate und regelmäßige Fünfecke in die Lücken passen.


Erzeugung weiterer archimedischer Körper aus archimedischen Körpern

Entfernt man bei einem abgestumpften Hexaeder die gleichseitigen Dreiecke und zieht die regelmäßigen Achtecke so weit auseinander, dass Quadrate und regelmäßige Sechsecke in die Lücken passen, dann erhält man ein abgestumpftes Kuboktaeder. Entfernt man bei einem abgestumpften Dodekaeder ebenfalls die gleichseitigen Dreiecke und zieht die regelmäßigen Zehnecke so weit auseinander, dass ebenfalls Quadrate und regelmäßige Sechsecke in die Lücken passen, dann erhält man ein abgestumpftes Ikosidodekaeder. Weder das abgestumpfte Kuboktaeder noch das abgestumpfte Ikosidodekaeder lassen sich durch Abschneiden der Ecken der entsprechenden Körper erzeugen, weil dann in beiden Fällen Rechtecke entstehen. Die Namen sind also irreführend.


Die folgenden Tabellen gelten für platonische Körper und archimedische Körper im dreidimensionalen Raum, wobei der Ausdruck "sqrt" (square root) die Quadratwurzel bezeichnet. Archimedische Körper besitzen keine eindeutig definierten Inkugeln, da zu den verschiedenen Sorten von regelmäßigen Vielecken eines archimedischen Körpers Inkugeln unterschiedlicher Radien gehören, die allerdings alle den gleichen Mittelpunkt besitzen. In der letzten Tabelle ist mit Inkugelradius bei den archimedischen Körpern deshalb der kleinste Radius der Inkugeln gemeint. Er gehört zu den regelmäßigen Vielecken mit den meisten Ecken.

Kugelähnlichkeit von platonischen Körpern und archimedischen Körpern

Welcher platonische Körpern oder archimedische Körper hat nun die größte Kugelähnlichkeit? Diese Frage lässt sich nicht so exakt beantworten, wie man zunächst vermutet. Das liegt an der komplexen Eigenschaft der Kugelähnlichkeit, die man auf verschiedene Weise sinnvoll definieren kann. Da platonische Körper und archimedische Körper jeweils gleichartige Ecken besitzen, kann man die Winkelsumme der an einer Ecke zusammenstoßenden Vielecke als Kriterium verwenden. Danach ist die Kugelähnlichkeit dieser Polyeder umso größer, je näher diese Winkelsumme bei 360° liegt. Nach dieser Definition hat das Dodekaeder unter den platonischen Körpern mit einer Winkelsumme von 324° die größte Kugelähnlichkeit. Unter den archimedischen Körper ist es das abgestumpfte Ikosidodekaeder mit 354°. Diese einfache Definition ist nur dann einigermaßen sinnvoll, wenn die Flächen der aneinanderstoßenden Vielecke nicht zu verschieden sind. Beispielsweise werden Prismen einer Kugel immer unähnlicher, wenn die Eckenzahl der beiden gegenüberliegenden regelmäßigen Vielecke zunimmt, die Winkelsumme dagegen nähert sich immer mehr dem Wert von 360°.

Eine allgemeineres und wesentlich besseres Kriterium für Kugelähnlichkeit ist der in der Tabelle definierte Begriff der Sphärizität. Hier wird die Oberfläche einer Kugel gleichen Volumens durch die Oberfläche des betrachteten Polyeders geteilt. Dieses Kriterium kann auch auf andere Körper angewendet werden. Unter den platonischen Körpern hat hier das Ikosaeder mit 0,939 den größten Wert. Von den archimedischen Körpern hat das abgeschrägte Dodekaeder mit einem Wert von 0,982 die größte Kugelähnlichkeit.

Man kann zur Definition der Kugelähnlichkeit auch das Verhältnis der Radien von Inkugel zu Umkugel verwenden. Da archimedische Körper für jeden Typ von regelmäßigen Vielecken eine andere Inkugel besitzen, muss hier diejenige mit dem kleinsten Radius genommen werden. Nach dieser Definition sind Dodekaeder und Ikosaeder die beiden platonischen Körper mit der größten Kugelähnlichkeit bei einem Radienverhältnis von 0,795. Unter den archimedischen Körpern hat das Rhombenikosidodekaeder mit einem Wert von 0,925 die größte Kugelähnlichkeit.


Weitere Polyeder sind auf der Web-Seite über Geodätische Kuppeln dargestellt.

Das Mathematik-Rätsel über Würfelschnitte enthält auch alle Schnitte durch platonische Körper, bei denen regelmäßige Vielecke als Schnittflächen entstehen. Schließlich enthält ein weiteres Mathematik-Rätsel alle platonischen Körper, die man platonischen Körpern einbeschreiben kann.


Links zum Thema:

Wikipedia: Archimedischer Körper - Wikipedia
Gijs Korthals Altes: Paper Models of Polyhedra
Jürgen Köller: Archimedische Körper
Arndt Brünner: Platonische Körper und Archimedische Körper


Referenz: Reguläre und halbreguläre Polyeder (Tiberiu Roman, Deutsch Taschenbücher, Band 56)


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