Reisezeiten mit einem interstellaren Raumschiff Fragen und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de, Adresse: siehe Impressum, Themenübersicht auf der Hauptseite: Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Nach den Gesetzen der speziellen Relativitätstheorie wäre es für einen Menschen während seines Lebens tatsächlich möglich, selbst die entferntesten Galaxien zu erreichen. Dazu müsste sein Raumschiff in der Lage sein, auf der ersten Hälfte der Reise mit einer konstanten Beschleunigung von 9,81 m/sec² zu beschleunigen und auf der zweiten Hälfte der Reise in gleicher Weise wieder abzubremsen. Die Beschleunigung und Abbremsung würden dann im Raumschiff eine künstliche Schwerkraft erzeugen, die den Bedingungen auf der Erdoberfläche entspräche. Ein Mensch hätte im Raumschiff also das gleiche Gewicht wie auf der Erde.

Die technischen Schwierigkeiten z.B. für den Antrieb, die Energieversorgung und für den Schutzschild gegen interplanetaren und interstellaren Staub sind aber so groß, dass man vermutlich nie auf diese Weise Reisen jenseits unseres Sonnensystems wird unternehmen können (siehe auch: Möglichkeiten und Grenzen bemannter Raumfahrt). Aus diesen und anderen Gründen halte ich es auch für praktisch unmöglich, dass intelligente außerirdische Lebewesen uns mit Raumschiffen jemals erreichen können (siehe auch: Außerirdisches Leben in unserer Milchstraße).

Trotzdem ist es interessant, sich klarzumachen, in welchen Zeiten und mit welchen Geschwindigkeiten ein Mensch welche Entfernungen überwinden könnte. Nach der speziellen Relativitätstheorie von Einstein verläuft die Zeit im Raumschiff im Vergleich zur Erde umso langsamer, je länger das Raumschiff beschleunigt wird. Dadurch könnte ein Mensch während seines Lebens tatsächlich sehr weit entfernte Ziele erreichen. Allerdings wäre bei seiner Rückkehr unter Umständen auf der Erde schon so viel Zeit vergangen, dass er keine ihm bekannte Person, eventuell sogar nicht einmal mehr Menschen dort antreffen würde. Es könnte sogar sein, dass nicht einmal mehr die Erde existieren würde.

Die folgende Tabelle enthält die Reisezeiten für einen Menschen im Raumschiff, die auf der Erde vergangenen Zeiten und die Entfernungen und Höchstgeschwindigkeiten des Raumschiffs, jeweils von der Erde aus gemessen (Formeln am Ende der Seite). Dabei ist ein Lichtjahr die Strecke, die das Licht mit seiner Geschwindigkeit von c = 299.792,458 km/s in einem Jahr zurücklegt. Die Länge dieser Strecke beträgt etwa 9,46 Billionen Kilometer.

Die zweite Tabelle enthält wieder Entfernungen, Reisezeiten und Höchstgeschwindigkeiten, aber diesmal für eine Reihe von bekannten kosmischen Zielen:

Aus den Tabellen kann man entnehmen, dass ein Mensch während seines Lebens rein theoretisch jedes bekannte Objekt des Universums erreichen könnte. Allerdings gelten die Reisezeiten nur für ein Universum, dass sich nicht ausdehnt. Da aber unser Universum expandiert, sind die Ergebnisse für Reiseentfernungen von mehreren Milliarden Lichtjahren nicht mehr exakt. Außerdem existieren eventuell die Reiseziele bei der Ankunft gar nicht mehr, weil wir momentan diese Ziele so sehen, wie sie in der Vergangenheit aussahen, als das entsprechende Licht dort abgestrahlt wurde.



Die eben beschriebenen Reisen sind nach dem Kenntnisstand der Physik wenigstens theoretisch möglich. Dafür bräuchte man allerdings einen Photonen-Antrieb, bei dem die Photonen durch Fusion von Materie und Antimaterie erzeugt würden, wobei die Antimaterie erst unter gigantischem Energieaufwand hergestellt werden müsste.

Dagegen sind Reisen durch Wurmlöcher oder Reisen mit Warp-Antrieb nach dem Kenntnisstand der Physik nicht möglich. Hierfür würde man nämlich eine hypothetische Materieform (Materie mit negativer Masse) benötigen, die man bisher nicht entdeckt hat und die vermutlich auch gar nicht existiert. Mit einer gigantischen Menge positiver und negativer Masse müsste man dann die Raumzeit so krümmen, dass entweder Wurmlöcher oder Warp-Blasen entstehen. Mit den Wurmlöchern müsste man dann eine Abkürzung zum Reiseziel herstellen und mit überlichtschnellen Warp-Blasen Raumschiffe zum Ziel transportieren. Im Gegensatz zur Materie im Raum gibt es nämlich für den Raum selbst keine maximale Geschwindigkeit.

Um zu zeigen, dass selbst eine Photonen-Rakete mit Materie und Antimaterie als Treibstoff nichts mit der Realität zu tun hat, wähle ich als Beispiel die oben erwähnte Reise zum nur 25 Lichtjahre entfernten Fixstern Wega. Die Rakete würde bei einer Beschleunigung, die der Erdbeschleunigung entspricht, 99,74% der Lichtgeschwindigkeit erreichen. Das eigentliche Raumschiff, also die Nutzlast, soll eine Masse von nur 100 000 Tonnen haben (u.a. für Sauerstoff, Wasser und Nahrung, für Maschinen zur Versorgung mit Energie, für die Abschirmung gegen kosmische Strahlung, und für Maschinen, die am Zielort das langfristige Überleben ermöglichen). Selbst wenn man die Masse für das Photonen-Triebwerk (Triebwerksstrahlgeschwindigkeit = c) und die Treibstoffbehälter nicht berücksichtigt, benötigt man für die Abbremsung nach der relativistischen Raketenformel etwa 2,77 Millionen Tonnen an Treibstoff (50% Materie und 50 % Antimaterie):

Endmasse / Anfangsmasse = ((1 - Endgeschwindigkeit / c) / (1 + Endgeschwindigkeit / c))^{c/(2·Triebwerksstrahlgeschwindigkeit)}

Für die Beschleunigungsphase muss man diese Teibstoffmenge zur Nutzlast von 0,1 Millionen Tonnen hinzurechnen. Um diese 2,87 Millionen Tonnen zu beschleunigen, braucht man eine weitere Teibstoffmenge von 79,5 Millionen Tonnen. Insgesamt sind das also etwa 82,3 Millionen Tonnen Treibstoff. Dieser Treibstoff enthält eine Energie von etwa 7,4 Quadrilliarden Joule. Nur dieses eine Raumschiff benötigt demnach eine Energiemenge, mit der die Menschheit beim gegenwärtigen Energieverbrauch (600 Trillionen Joule pro Jahr) mehr als 12 Millionen Jahre versorgt werden könnte. Und natürlich ermöglicht dieses Raumschiff keine Rückkehr zur Erde.

Wenn man sich dann noch klarmacht, dass es für Antimaterie keine Lagerstätten gibt wie für Kohle (chemische Verbrennung), Uran (Kernspaltung) oder schweres Wasser (Kernfusion), sondern dass man die Antimaterie erst künstlich mit Hilfe einer riesigen zusätzlichen Energiemenge herstellen muss, dass außerdem kein Mensch weiß, wie man Antimaterie sicher in einer Rakete transportieren kann, und dass schließlich kein Mensch eine Idee hat, wie ein entsprechendes Triebwerk aussehen könnte, bekommt man eine Ahnung davon, dass eine bemannte interstellare Raumfahrt wohl für immer eine Fiktion bleiben wird.

Was wäre denn in sehr ferner Zukunft gerade noch realistisch? Eine unbemannte Erkundungsmission zum nächsten Exoplaneten (Proxima Centauri b) in einer Entfernung von 4,24 Lichtjahren? Selbst wenn man nur eine Nutzlast von 20 Tonnen für die Landekapseln mit den Erkundungs-Robotern annimmt, muss man realistischerweise von einer Gesamtmasse des Raumschiffs von 200 000 Tonnen ausgehen, um mit einem Kernfusionsantrieb in etwa 50 Jahren den Exoplaneten erreichen zu können. Als Brennstoff kommt hierfür nur schwerer Wasserstoff (Deuterium) und Helium-3 infrage. Etwa 100 000 Tonnen der Gesamtmasse dürften dabei auf das Helium-3 entfallen. Da es auf der Erde keine nennenswerten Vorkommen an Helium-3 gibt, müsste man auf die Vorkommen des Mondes zurückgreifen, die auf maximal 1 Million Tonnen geschätzt werden. Ein einziger Flug würde also mindestens 10% der gesamten Mondvorräte verbrauchen. Ob das realistisch ist, möge der Leser selbst beurteilen. Bleibt noch zu erwähnen, dass auch eine solche Mission ein Vielfaches des gegenwärtigen Jahresenergieverbrauchs der Menschheit verschlingen würde.



Für die mathematisch Interessierten kommen jetzt noch die Formeln, mit denen man die auf der Erde und die im Raumschiff vergangene Zeit
in Abhängigkeit von der Entfernung zum Reiseziel berechnen kann:

t_r = c / b_r · arcosh(x_e · b_r / c² + 1)

t_e = c / b_r · √((x_e · b_r / c² + 1)² – 1)

In den Formeln ist x_e die Entfernung des Raumschiffs von der Erde, t_e die auf der Erde und t_r die im Raumschiff verflossene Zeit.
b_r bezeichnet die konstante Beschleunigung, mit der das Raumschiff seine Geschwindigkeit erhöht, und c = 299 792 458 m/s ist die Lichtgeschwindigkeit.
Für die obigen Tabellen wurde für b_r die Erdbeschleunigung von 9,81 m/sec² angenommen.

Zur Berechnung ist noch wichtig, für x_e die halbe Entfernung zum Reiseziel einzusetzen, weil die Reise ja aus einer Beschleunigungsphase und einer
dazu symmetrischen Bremsphase besteht. Das berechnete t_e oder t_r muss dann natürlich verdoppelt werden, um die gewünschten Reisezeiten zu erhalten.

Ist x_e klein, gehen die relativistischen Formeln in die klassischen Formeln über:

t_r = c / b_r · arcosh(x_e · b_r / c² + 1)
t_r = c / b_r · ln(x_e · b_r / c² + 1 + √((x_e · b_r / c² + 1)² – 1))
t_r = c / b_r · ln(1 + √(2 · x_e · b_r / c²))
t_r= c / b_r · √(2 · x_e · b_r / c²)
t_r= √(2 · x_e / b_r)

t_e = c / b_r · √((x_e · b_r / c² + 1)² – 1)
t_e = c / b_r · √((2 · x_e · b_r / c² + 1) – 1)
t_e = c / b_r · √(2 · x_e · b_r / c²)
t_e = √(2 · x_e / b_r)

Für Berechnung der Geschwindigkeit v am Ende der Beschleunigungsphase gilt schließlich die Formel:

v = b_r · t_e / √((b_r · t_e / c)² + 1)

Ist der Ausdruck b_r · t_e klein gegen c, so erhält man die klassische Formel:

v = b_r · t_e

Es sei noch angemerkt, dass alle Rechnungen aus der Sicht eines Menschen auf der Erde angestellt wurden, weil für diese Überlegungen nur die Erde in sehr guter
Näherung ein Inertialsystem darstellt. In diesem Fall werden für die Berechnungen nur die Formeln der speziellen Relativitätstheorie von Einstein gebraucht.
Das Raumschiff stellt dagegen kein Inertialsystem dar, weil es konstant beschleunigt bzw. abgebremst wird. Aus der Sicht eines Menschen im Raumschiff befindet
sich deshalb sowohl das Raumschiff als auch die Erde in einem homogenen Gravitationsfeld, allerdings auf sehr verschiedenen Gravitationspotentialen. Neben den
Formeln der speziellen Relativitätstheorie werden deshalb für die Berechnungen auch die Formeln der allgemeinen Relativitätstheorie gebraucht.
Beide Rechnungen kommen aber zu den gleichen oben aufgeführten Ergebnissen.




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