quadratsumme

Zehnstellige Zahl und die Anzahl der verschiedenen Ziffern

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23. Es gibt nur eine zehnstellige Zahl, deren erste Ziffer die Anzahl der Nullen der Zahl angibt, die zweite Ziffer die Anzahl der Einsen, die dritte Ziffer die Anzahl der Zweien... und die letzte Ziffer die Anzahl der Neunen. Welche Zahl ist das?

Da die Ziffern der Zahl gleichzeitig auch die Anzahl der Ziffern ausdrücken sollen, muss die Quersumme der gesuchten Zahl 10 sein.

Die erste Ziffer muss mindestens eine Eins sein, da eine Null an dieser Stelle bedeutet, dass die Zahl keine Nullen hätte, was ein Widerspruch ist.

Unter den letzten 5 Ziffern (6. bis 10. Ziffer) dürfen nicht nur Nullen vorkommen. Sonst müsste die die Anzahl der Nullen beschreibende erste Ziffer mindestens eine 5 sein. Und das würde bedeuten, dass unter den letzten 5 Ziffern eine Ziffer mindestens eine Eins sein müsste.

Unter den letzten 5 Ziffern können neben 4 Nullen höchstens eine Eins vorkommen, da schon eine Zwei an der 6. Stelle bedeuten würde, das außer dieser Ziffer 2 zweimal die Ziffer 5 auftauchen und die 3. Ziffer mindestens 1 sein müsste und damit die Zahl im Widerspruch zur Aufgabe mindestens dreizehnstellig wäre.

Damit muss es unter den letzten fünf Ziffern genau 4 Nullen und eine Eins geben.

Diese Eins verlangt für die erste Ziffer mindestens eine 5 und für die zweite Ziffer mindestens eine Eins. Eine Eins an der zweiten Stelle ist aber nicht möglich, weil es dann im Gegensatz zur Aussage zwei Einsen gäbe. Also muss die zweite Ziffer mindestens zwei sein. Eine Zwei verlangt eine Eins an der 3. Stelle. Damit entsteht auch die zweite Eins, die ja die 2. Ziffer fordert.

Wählen wir für die 4. und 5. Ziffer eine Null, dann haben wir neben den oben erwähnten 4 Nullen insgesamt 6 Nullen. Die erste Ziffer wäre dann eine 6 und die Eins in der hinteren Hälfte käme an die 7. Stelle. Tatsächlich ergibt sich dadurch eine Lösung:

6210001000

Würden wir für die 4. oder die 5. Ziffer eine Eins wählen, ergäbe sich als Quersumme die 11, da neben der Reduzierung der 6 auf 5 die Anzahl der Einsen von 2 auf 3 erhöht werden muss. Jede weitere Erhöhung der 3., 4. und 5. Ziffer führt zu noch höheren Quersummen. Es gibt also nur eine Lösung.


Diese Überlegung zum Erlangen der Lösung und der Beweis der Eindeutigkeit gelten entsprechend für alle n-stelligen Zahlen, sofern n mindestens 7 ist. Bei den Zahlen mit ungeradzahliger Ziffernzahl muss man nur an der entsprechenden Stelle die letzten (n+1)/2 Ziffern betrachten.

Für mehr als zehnstellige Zahlen muss man Ziffern betrachten, deren Wert größer als 9 ist. Dies geht im Dezimalsystem natürlich nicht. Deshalb muss man die Aufgabe so erweitern, dass man die Betrachtung für n-stellige Zahlen im n-er Zahlensystem macht. Im Hexadezimalsystem muss die erste der insgesamt 16 Ziffern demnach ein C sein, was der 12 im Dezimalsystem entspricht.

Man sieht den Lösungen mit mindestens 7 Stellen an, dass bei einer sechsstelligen Zahl vorne eine Zwei stehen müsste, dann aber an der 3. Stelle mindestens eine Zwei. Das Schema wird hier durchbrochen. Man kann zeigen, dass es für sechsstellige Zahlen keine Lösung gibt, ebenso wenig wie für ein-, zwei- und dreistellige Zahlen. Für fünfstellige Zahlen gibt es eine Lösung, für vierstellige Zahlen sogar zwei. Alle Lösungen bis 16 Stellen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

  1-stellige Zahl: -
  2-stellige Zahl: -
  3-stellige Zahl: -
  4-stellige Zahl: 1210 und 2020
  5-stellige Zahl: 21200
  6-stellige Zahl: -
  7-stellige Zahl: 3211000
  8-stellige Zahl: 42101000
  9-stellige Zahl: 521001000
10-stellige Zahl: 6210001000
11-stellige Zahl: 72100001000
12-stellige Zahl: 821000001000
13-stellige Zahl: 9210000001000
14-stellige Zahl: A2100000001000
15-stellige Zahl: B21000000001000
16-stellige Zahl: C210000000001000

Diese Zahlen werden auch autobiographische Zahlen oder selbstbeschreibende Zahlen genannt, weil sie quasi über sich selbst Auskunft geben.

Wesentlich anschaulicher kann man sich auch vorstellen, man habe es mit n durchnummerierten Beuteln zu tun, wobei im ersten Beutel so viele Kugeln liegen müssen, wie es Beutel ohne Kugeln gibt, im zweiten so viele, wie es Beutel mit einer Kugel gibt und im n-ten Beutel so viele, wie es Beutel mit n–1 Kugeln gibt.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Viele glauben intuitiv, dass es für dieses Rätsel keine Lösungen gebe, weil die Festlegung einer Ziffer Änderungen bei den anderen schon zuvor festgelegten Ziffern erzwingen kann.


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