Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen Fragen, Bemerkungen und Anregungen gerne an: Werner Brefeld (werner.brefeld@web.de) Hier geht es zur Hauptseite mit den Themen: Mathematik - Hintergründe im täglichen Leben verblüffende Mathematik-Rätsel Stochastik-Formeln mit konkreten Beispielen Platonische und Archimedische Körper

Welche Zahlen eignen sich am besten, um etwas zu unterteilen? Warum haben Tag und Nacht jeweils 12 Stunden, eine Stunde 60 Minuten, eine Minute 60 Sekunden und der Vollkreis 360°? (Which numbers are suitable to divide something? Why have day and night 12 hours each, one hour 60 minutes, one minute 60 seconds and the circle 360°?)

Was ist das Besondere an den oben erwähnten Zahlen 12, 60 und 360? Ziemlich schnell fällt auf, dass es sich um Zahlen mit vielen Teilern handelt. Sie können relativ zu ihrer Größe durch ziemlich viele Zahlen ohne Rest geteilt werden und haben deshalb eine hohe Teilbarkeit. Beispielsweise kann man die 60 durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60 teilen, ohne dass ein Rest bleibt. Im Gegensatz dazu kann man Primzahlen wie z.B. die 7 nur durch 1 und durch sich selbst teilen. Zahlen mit mehr als 2 Teilern sind deshalb keine Primzahlen, sondern sind aus Primfaktoren zusammengesetzt. Deshalb heißen sie zusammengesetzte Zahlen. Wenn man von diesen Zahlen diejenigen mit vielen Teilern sucht, dann findet man darunter auch die sogenannten hochzusammengesetzten Zahlen. Diese Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass sie mehr Teiler besitzen als jede kleinere Zahl. Die Zahl 24 mit ihren 8 Teilern 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24 ist eine solche hochzusammengesetzte Zahl, weil keine Zahl unter 24 so viele Teiler besitzt. Obwohl die 1 und die 2 nicht zusammengesetzt sind, werden sie meistens zu den hochzusammengesetzten Zahlen gerechnet, weil sie ebenfalls mehr Teiler besitzen als jede kleinere Zahl. Es gibt unendlich viele hochzusammengesetzte Zahlen. Die kleinsten sind:

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, …

Um die Teilbarkeit dieser Zahlen zu veranschaulichen, sind in der folgenden Zusammenstellung hinter den hochzusammengesetzten Zahlen ihre Teilerzahlen in Klammern hinzugefügt:

1 (1), 2 (2), 4 (3), 6 (4), 12 (6), 24 (8), 36 (9), 48 (10), 60 (12), 120 (16), 180 (18), 240 (20), 360 (24), 720 (30), 840 (32), 1260 (36), 1680 (40), 2520 (48), 5040 (60), 7560 (64) und 10080 (72).

Man erkennt, dass auch die oben erwähnten Zahlen 12, 60 und 360 zu den hochzusammengesetzten Zahlen gehören. Aber sie zeichnet noch die weitere Eigenschaft aus, dass sie in besonderer Weise hochzusammengesetzt sind. Besonders hochzusammengesetzt ist eine Zahl dann, wenn sie nicht nur mehr Teiler besitzt als jede kleinere Zahl, sondern wenn sie erst von ihrer doppelt so großen Zahl in der Anzahl der Teiler übertroffen wird. So wird die 12 erst von der 24 und die 60 erst von der 120 in der Anzahl der Teiler geschlagen. Das ist deshalb eine besondere Eigenschaft, weil die Verdoppelung einer Zahl immer zu einer Vergrößerung der Teilerzahl führt.

Dies kann man folgendermaßen einsehen. Jede Zahl Z lässt sich als Produkt ihrer Primfaktoren ausdrücken:

Z = 2^a · 3^b · 5^c · 7^d · ...

a, b, c, d sollen natürliche Zahlen sein. Die Teilerzahl T der Zahl Z bekommt man, indem man alle möglichen Kombinationen der Primfaktoren dieser Zahl bildet. Kommt die Primzahl 2 also a-mal vor, dann kann die 2 in den verschiedenen Teilern von Z entweder a-mal, (a-1)mal, ..., zweimal, einmal oder keinmal vorkommen. Es gibt also (a + 1) Möglichkeiten. Unabhängig davon gibt es für die Primzahl 3 dann (b + 1) Möglichkeiten. Die Teilerzahl T beträgt also:

T = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) · (d + 1) · ...

Beispielsweise gilt für die Zahl 24:

Z = 2³ · 3¹

a ist hier also gleich 3 und b ist gleich 1. Die Zahl 24 hat damit (a + 1) · (b + 1) = (3 + 1) · (1 + 1) = 8 Teiler. Verdoppelt man nun eine Zahl, dann kommt ein Primfaktor 2 dazu, a erhöht sich damit um 1 und T wird deshalb größer.

Es gibt insgesamt nur 7 Zahlen, die auch die oben erwähnte besondere Bedingung erfüllen (siehe Beweis unten; see proof below):

1, 2, 6, 12, 60, 360, 2520

Beispielsweise wird die 60 (12 Teiler) erst von der 120 mit ihren 16 Teiler überholt, während die 24 (8 Teiler) schon von der 36 mit ihren 9 Teilern geschlagen wird.

Der Vorteil der guten Teilbarkeit der 12 (Dutzend), der 60 (Schock) und der 360 (Anzahl der Grade des Vollkreises) leuchten ja unmittelbar ein. Auch die 6 ist ja sehr gebräuchlich. Die 1 als Startzahl und die 2 als kleinste Primzahl sind, wie schon erwähnt, nicht wirklich zusammengesetzt, und die 2520 ist wohl zu groß, um für die Praxis von Nutzen zu sein.

Die guten babylonischen Mathematiker könnten durchaus die besonders gute Teilbarkeit dieser Zahlen gekannt haben. In Babylonien wurde um 1800 v.Chr. von den Sumerern das Sexagesimalsystem (60er-System) übernommen, dessen Anfänge bis 3000 v.Chr. zurückreichen. Der Tag hatte in Babylonien 12 Doppelstunden und es gab 12 Tierkreiszeichen entlang der scheinbaren Bahn der Sonne am Himmel. Der Vollkreis wurde in 360° eingeteilt, obwohl die Babylonier wussten, dass das Jahr etwas mehr als 365 Tage hatte. Das Sexagesimalsystem aus Babylonien diente um 100 v.Chr. als Vorbild beim Einteilen der Stunde in 60 Minuten und der Minute in 60 Sekunden.

Eingehend erforscht wurden die Eigenschaften der hochzusammengesetzten Zahlen und speziell ihre Teilbarkeit erst von einem der berühmtesten Mathematiker des 20. Jahrhunderts, dem Inder Srinivasa Ramanujan.

Zu diesem Thema speziell aufbereitetes Material für Schüler und Lehrer gibt es im Raabe-Verlag der Klett-Gruppe unter dem Titel
"Die besonderen Zahlen 6, 12, 60 und 360 - Auf den Spuren des indischen Mathematikers Ramanujan"
(RAAbits Mathematik; Artikelnummer: R0196-002140; März 2008).



Hier kommt der Beweis, dass es nur 7 besonders hochzusammengesetzte Zahlen gibt, also hochzusammengesetzte Zahlen, die erst von ihrem Doppelten in der Zahl ihrer Teiler übertroffen werden: (It follows the proof that there are only 7 highly composite numbers, which are half of the next highly composite number:)

Beweis durch Ausschluss (Proof by exclusion)

Welche hochzusammengesetzten Zahlen werden schon vorher in der Zahl ihrer Teiler übertroffen?
(Which highly composite numbers are more than half of the next highly composite number?)

Hochzusammengesetzte Zahlen Z kann man nach Ramanujan darstellen als:
(Due to Ramanujan highly composite numbers Z can be expressed by:)

Z = 2^x · 3^y · 5^z ... mit x >= y, y >= z, ...

Wandelt man Z in (By converting Z in)

Z₁ = 2^x–1 · 3^y+1 · 5^z ... ( Z₁ / Z = 3 / 2 ) oder in (or in)
Z₂ = 2^x+2 · 3^y–1 · 5^z ... ( Z₂ / Z = 4 / 3 ) um,

erhält man Zahlen, die kleiner als das Doppelte von Z sind. Damit die Zahl ihrer Teiler größer als die von Z ist, muss gelten:
(one get numbers, which are smaller than twice of Z. So that the number of its dividors is larger than that of Z, it has to be:)

x · (y + 2) > (x + 1) · (y + 1); xy + 2x > xy + x + y + 1; x > y + 1; y < x – 1
beziehungsweise (and accordingly)
(x + 3) · y > (x + 1) · (y + 1); xy + 3y > xy + x + y + 1; 2y > x + 1; y > ½·x + ½

Für alle Werte von x und y, die diesen Ungleichungen genügen, lassen sich also Zahlen konstruieren, die mehr Teiler als Z haben, aber nicht doppelt so groß wie Z sind. Nur die folgenden 5 Wertepaare für x und y werden von den Ungleichungen nicht abgedeckt und müssen deshalb einzeln untersucht werden:
For all values of x and y, that satisfy these inequations, numbers can be constructed, which have more divisors than Z, but which are not twice of Z. Only the following 5 pairs of variates for x and y do not satisfy the inequations and have therefore to be examined separately:)

x = 0 und y = 0:
Z = 2⁰ = 1 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)

x = 1 und y = 0:
Z = 2¹ = 2 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)

x = 1 und y = 1:
Z = 2¹ · 3¹ = 6 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)
Z = 2¹ · 3¹ · 5¹ · r (kann in Z₁ = 2² · 3² · r umgewandelt werden; can be converted in Z₁ = 2² · 3² · r; Z₁/Z = 6/5 < 2; Teiler(Z₁) / Teiler(Z) = 9/8 > 1)

x = 2 und y = 1:
Z = 2² · 3¹ = 12 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)
Z = 2² · 3¹ · 5¹ = 60 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)
Z = 2² · 3¹ · 5¹ · 7¹ · r (kann in Z₁ = 2⁴ · 3² · 5¹ · r umgewandelt werden; Z₁/Z = 12/7 < 2; Teiler(Z₁) / Teiler(Z) = 30/24 > 1)

x = 3 und y = 2:
Z = 2³ · 3² = 72 (wird schon von 2³ · 3¹ · 5¹ = 120 in ihrer Teilerzahl übertroffen; 16 Teiler statt 12 Teiler)
Z = 2³ · 3² · 5 = 360 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)
Z = 2³ · 3² · 5¹ · 7¹ = 2520 (wird erst von ihrem Doppelten in ihrer Teilerzahl übertroffen; will be first surpassed in its number of divisors by twice of Z)
Z = 2³ · 3² · 5¹ · 7¹ · 11¹ · r (kann in Z₁ = 2⁴ · 3⁴ · 5¹ · 7¹ · r umgewandelt werden; Z₁/Z = 18/11 < 2; Teiler(Z₁) / Teiler(Z) = 100/96 > 1)
Z = 2³ · 3² · 5² · r (kann in Z₁ = 2⁴ · 3³ · 5¹ · r umgewandelt werden; Z₁/Z = 6/5 < 2; Teiler(Z₁) / Teiler(Z) = 40/36 > 1)

Ergebnis: Bis auf die sieben Zahlen 1, 2, 6, 12, 60, 360 und 2520 werden alle hochzusammengesetzten Zahlen Z schon von Zahlen in ihrer Teilerzahl übertroffen, die kleiner als das Doppelte von Z sind.
(Result: Except the seven numbers 1, 2, 6, 12, 60, 360 and 2520 all highly composite numbers Z will be surpassed in the number of their divisors by numbers, which are smaller than twice of Z.)


Links zum Thema:

Achim Flammenkamp: Highly Composite Numbers
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: Special Highly Composite Numbers
Horst Gierhardt: Der berühmte Mathematiker Srinivasa Ramanujan


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