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Weitere Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und optimale Strategien beim Kniffel

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Mathematik im Alltag, verblüffende Mathematik-Rätsel, Stochastik und Polyeder, irdisches und außerirdisches Leben

Wahrscheinlichkeiten und Strategien beim Kniffel mit 3 Würfen für nur eine Kategorie: Kniffel-Seite
Wahrscheinlichkeiten beim Kniffel für nur einen Wurf: Stochastik-Seite (Beispiele 14, 15, 24)


Wahrscheinlichkeiten beim Dreierpasch

Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Dreierpasch zu erzielen, beträgt 74,319527%.

Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Dreierpasch zu erzielen (siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.

Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:

Bei einem Kniffel, Vierling, Full House und Drilling ist man schon am Ziel.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal, alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.

Die folgende Zusammenstellung enthält die 6 möglichen Fälle zum Erzielen eines Dreierpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie.
Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 3 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man
nicht schon vorher einen Dreierpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:

p1 = 1656/7776 = 23/108 = 21,296296% (Drilling oder Full House oder Vierling oder Kniffel = Dreierpasch / - / -)
p2 = (5400/7776)·(96/216) = 25/81 = 30,864198% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Dreierpasch / -)
p3 = (5400/7776)·(120/216)·(96/216) = 125/729 = 17,146776% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Dreierpasch)
p4 = (720/7776)·(276/1296) = 115/5832 = 1,971879% (Einlinge / Dreierpasch / -)
p5 = (720/7776)·(900/1296)·(96/216) = 125/4374 = 2,857796% (Einlinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Dreierpasch)
p6 = (720/7776)·(120/1296)·(276/1296) = 575/314928 = 0,182581% (Einlinge / Einlinge / Dreierpasch)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und führt auf den schon oben angegebenen Wert:

pgesamt = 234053/314928 = 74,319527%

Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 1656/7776 = 21,296296% und nach zwei Würfen 3157/5832 = 54,132373%.

Wie groß wäre eigentlich die entsprechende Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch"? Die Wahrscheinlichkeit für einen "Zweierpasch" errechnet sich einfach als
1 minus der Wahrscheinlichkeit, dreimal keinen "Zweierpasch" zu erzielen. Sie beträgt 1 – (6 · 5! / 65)3 = 1 – (720 / 7776)3 = 1 – 0,00079383 = 99,920617%.



Wahrscheinlichkeiten beim Viererpasch

Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie einen Viererpasch zu erzielen, beträgt 29,079358%.

Diese Strategie ist nicht identisch mit der Strategie, möglichst viele Punkte mit einem Viererpasch zu erzielen (siehe dazu die Kniffel-Seite), sondern sie entspricht der Strategie zum Erreichen eines Kniffels.

Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln:

Bei einem Kniffel und einem Vierling ist man schon am Ziel.
Bei einen Drilling oder Full House wird nur der Drilling behalten.
Bei zwei Zwillingen wird nur ein Zwilling behalten, egal welcher.
Bei einem Zwilling wird nur der Zwilling behalten.
Bei fünf Einlingen wird nur ein Einling behalten, egal welcher. Es ist allerdings genau so optimal, alles zu verwerfen und komplett neu zu würfeln.

Die folgende Zusammenstellung enthält die 10 möglichen Fälle zum Erzielen eines Viererpasch mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p bei optimaler Strategie.
Die in Klammern gesetzten und durch Schrägstriche abgetrennten 4 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf erreicht sein soll, sofern man
nicht schon vorher einen Viererpasch erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Brüche die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien:

p1 = 156/7776 = 13/648 = 2,006173% (Vierling oder Kniffel = Viererpasch / - / -)
p2 = (1500/7776)·(11/36) = 1375/23328 = 5,894204% (Drilling oder Full House / Viererpasch / -)
p3 = (1500/7776)·(25/36)·(11/36) = 34375/839808 = 4,093197% (Drilling oder Full House / Drilling oder Full House / Viererpasch)
p4 = (5400/7776)·(16/216) = 25/486 = 5,144033% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Viererpasch / -)
p5 = (5400/7776)·(80/216)·(11/36) = 1375/17496 = 7,858939% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Drilling oder Full House / Viererpasch)
p6 = (5400/7776)·(120/216)·(16/216) = 125/4374 = 2,857796% (Zwilling oder 2 Zwillinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Viererpasch)
p7 = (720/7776)·(26/1296) = 65/34992 = 0,185757% (Einlinge / Viererpasch / -)
p8 = (720/7776)·(250/1296)·(11/36) = 6875/1259712 = 0,545760% (Einlinge / Drilling oder Full House / Viererpasch)
p9 = (720/7776)·(900/1296)·(16/216) = 125/26244 = 0,476299% (Einlinge / Zwilling oder 2 Zwillinge / Viererpasch)
p10 = (720/7776)·(120/1296)·(26/1296) = 325/1889568 = 0,017200% (Einlinge / Einlinge / Viererpasch)

Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und führt auf den schon oben angegebenen Wert:

pgesamt = 2197897/7558272 = 29,079358%

Nach einem Wurf beträgt die Wahrscheinlichkeit übrigens 156/7776 = 2,006173% und nach zwei Würfen 9259/69.984 = 13,230167%.



Wahrscheinlichkeiten für die Summen der Augenzahlen bei der Chance

Die folgende Zusammenstellung enthält die Wahrscheinlichkeiten pn, mit 3 Würfen bei optimaler Strategie die Summe n der Augenzahlen zu erzielen:

p5 = 248.832 / 470.184.984.576 = 0.0001%
p6 = 1.244.160 / 470.184.984.576 = 0.0003%
p7 = 3.732.480 / 470.184.984.576 = 0.0008%
p8 = 11.197.440 / 470.184.984.576 = 0.0024%
p9 = 33.592.320 / 470.184.984.576 = 0.0071%
p10 = 87.340.032 / 470.184.984.576 = 0.0186%
p11 = 197.821.440 / 470.184.984.576 = 0.0421%
p12 = 429.235.200 / 470.184.984.576 = 0.0913%
p13 = 906.992.640 / 470.184.984.576 = 0.1929%
p14 = 1.777.904.640 / 470.184.984.576 = 0.3781%
p15 = 3.210.181.632 / 470.184.984.576 = 0.6827%
p16 = 5.527.802.880 / 470.184.984.576 = 1.1757%
p17 = 9.208.028.160 / 470.184.984.576 = 1.9584%
p18 = 14.463.360.000 / 470.184.984.576 = 3.0761%
p19 = 21.107.174.400 / 470.184.984.576 = 4.4891%
p20 = 29.129.020.416 / 470.184.984.576 = 6.1952%
p21 = 38.586.378.240 / 470.184.984.576 = 8.2066%
p22 = 48.171.386.880 / 470.184.984.576 = 10.2452%
p23 = 55.091.404.800 / 470.184.984.576 = 11.7170%
p24 = 57.778.790.400 / 470.184.984.576 = 12.2885%
p25 = 56.757.583.872 / 470.184.984.576 = 12.0713%
p26 = 51.597.803.520 / 470.184.984.576 = 10.9739%
p27 = 40.310.784.000 / 470.184.984.576 = 8.5734%
p28 = 24.186.470.400 / 470.184.984.576 = 5.1440%
p29 = 9.674.588.160 / 470.184.984.576 = 2.0576%
p30 = 1.934.917.632 / 470.184.984.576 = 0.4115%

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms



Erwartungswerte für zwei offene Kategorien beim Kniffel-Spiel

In der folgenden Tabelle sind alle 78 Fälle aufgeführt, bei denen noch genau 2 Kategorien offen sind. Angegeben sind die mittleren Punktzahlen (Erwartungswerte),
die man dann jeweils bei optimaler Strategie erreicht. Bonuspunkte wurden bei dieser Berechnung nicht berücksichtigt.
Die Werte in den Klammern geben an, wie viele Punkte man im Mittel mehr erzielt, als wenn man die beiden Kategorien jeweils einzeln optimiert hätte:

Einer und Zweier: 7,122429 (+0,803)
Einer und Dreier: 9,572760 (+1,147)
Einer und Vierer: 12,040419 (+1,508)
Einer und Fünfer: 14,509981 (+1,871)
Einer und Sechser: 16,981755 (+2,236)
Einer und Dreierpasch: 21,817047 (+4,516)
Einer und Viererpasch: 10,761901 (+3,044)
Einer und Full House: 16,358312 (+5,180)
Einer und kleine Straße: 27,194479 (+6,625)
Einer und große Straße: 19,263079 (+6,713)
Einer und Kniffel: 5,893168 (+1,485)
Einer und Chance: 26,459315 (+1,020)
Zweier und Dreier: 11,830067 (+1,298)
Zweier und Vierer: 14,244857 (+1,606)
Zweier und Fünfer: 16,693681 (+1,948)
Zweier und Sechser: 19,145519 (+2,294)
Zweier und Dreierpasch: 23,488120 (+4,080)
Zweier und Viererpasch: 12,346240 (+2,522)
Zweier und Full House: 17,893059 (+4,608)
Zweier und kleine Straße: 29,052529 (+6,376)
Zweier und große Straße: 20,743299 (+6,087)
Zweier und Kniffel: 8,018201 (+1,504)
Zweier und Chance: 28,658342 (+1,112)
Dreier und Vierer: 16,539606 (+1,794)
Dreier und Fünfer: 18,950596 (+2,099)
Dreier und Sechser: 21,367286 (+2,409)
Dreier und Dreierpasch: 25,359175 (+3,845)
Dreier und Viererpasch: 14,310305 (+2,380)
Dreier und Full House: 19,494080 (+4,103)
Dreier und kleine Straße: 30,642444 (+5,860)
Dreier und große Straße: 22,133538 (+5,370)
Dreier und Kniffel: 10,409530 (+1,789)
Dreier und Chance: 30,954951 (+1,302)
Vierer und Fünfer: 21,249144 (+2,291)
Vierer und Sechser: 23,660134 (+2,595)
Vierer und Dreierpasch: 27,416903 (+3,796)
Vierer und Viererpasch: 16,537325 (+2,500)
Vierer und Full House: 21,242074 (+3,744)
Vierer und kleine Straße: 32,476655 (+5,587)
Vierer und große Straße: 23,603208 (+4,733)
Vierer und Kniffel: 12,822288 (+2,095)
Vierer und Chance: 33,347083 (+1,588)
Fünfer und Sechser: 25,958683 (+2,787)
Fünfer und Dreierpasch: 29,511368 (+3,784)
Fünfer und Viererpasch: 18,779091 (+2,635)
Fünfer und Full House: 23,230038 (+3,626)
Fünfer und kleine Straße: 34,829906 (+5,834)
Fünfer und große Straße: 25,232258 (+4,256)
Fünfer und Kniffel: 15,235046 (+2,401)
Fünfer und Chance: 35,559533 (+1,694)
Sechser und Dreierpasch: 31,518629 (+3,685)
Sechser und Viererpasch: 21,230356 (+2,980)
Sechser und Full House: 25,317122 (+3,606)
Sechser und kleine Straße: 36,641378 (+5,539)
Sechser und große Straße: 27,351177 (+4,268)
Sechser und Kniffel: 17,668410 (+2,728)
Sechser und Chance: 37,343785 (+1,372)
Dreierpasch und Viererpasch: 25,644149 (+4,838)
Dreierpasch und Full House: 28,595980 (+4,329)
Dreierpasch und kleine Straße: 38,684169 (+5,026)
Dreierpasch und große Straße: 29,466734 (+3,828)
Dreierpasch und Kniffel: 22,693226 (+5,197)
Dreierpasch und Chance: 42,805413 (+4,277)
Viererpasch und Full House: 19,636379 (+4,953)
Viererpasch und kleine Straße: 29,823318 (+5,749)
Viererpasch und große Straße: 20,798317 (+4,743)
Viererpasch und Kniffel: 11,695701 (+3,783)
Viererpasch und Chance: 31,629982 (+2,685)
Full House und kleine Straße: 32,995930 (+5,461)
Full House und große Straße: 23,421948 (+3,906)
Full House und Kniffel: 16,798868 (+5,425)
Full House und Chance: 36,274722 (+3,869)
kleine Straße und große Straße: 36,245553 (+7,338)
kleine Straße und Kniffel: 27,223651 (+6,459)
kleine Straße und Chance: 47,520581 (+5,724)
große Straße und Kniffel: 19,045911 (+6,301)
große Straße und Chance: 38,434841 (+4,658)
Kniffel und Chance: 27,259810 (+1,625)

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms für optimale Kniffel-Strategien

Wenn noch zwei Kategorien offen sind, dann kommt es oft vor, dass die optimale Strategie für keine der beiden Kategorien einzeln betrachtet optimal ist.
Einer solchen "Mischstrategie" muss man z.B. folgen, wenn man 11156 würfelt und die Fünfer und Sechser die beiden noch offenen Kategorien sind.
Entgegen der Erwartung darf man nicht nur die 5 oder nur die 6 behalten, sondern man muss sowohl die 5 als auch die 6 behalten.
Das gilt sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf. Nach dem dritten Wurf wird dann die eine 5 bei den Fünfern eingetragen.



Strategie für die ersten drei Würfe beim Kniffel-Spiel

In der unten aufgeführten Tabelle findet man für jede der 252 Kombination der Augenzahlen auf den fünf Würfeln die optimale Strategie
nach dem ersten, zweiten und dritten Wurf eines Kniffel-Spiels. Die Angaben gelten also nur am Anfang eines Kniffel-Spiels, wenn noch in keiner
der 13 Kategorien (1er bis 6er, Dreierpasch, Viererpasch, Full House, kleine Straße, große Straße, Kniffel und Chance) etwas eingetragen wurde.
Wie schon auf der Kniffel-Seite erwähnt wird, beträgt der Erwartungswert am Anfang des Spiels 245,870775 Punkte.

Die erste Angabe jeder Zeile enthält die jeweils erwürfelte Kombination der Augenzahlen nach dem ersten, zweiten oder dritten Wurf.
Die beiden folgenden Angaben zeigen, was man davon nach dem ersten bzw. zweiten Wurf behalten sollte.
Die vierte Angabe beschreibt, bei welcher Kategorie man nach dem dritten Wurf die entsprechende Punktzahl eintragen sollte.
Und in Klammern steht, welche mittlere Punktzahl man nach dem Eintrag für das gesamte Kniffel-Spiel erwarten kann:

11111   11111   11111   Kniffel (278,209)
11112   1111_   1111_   1er (241,141)
11113   1111_   1111_   1er (241,141)
11114   1111_   1111_   1er (241,141)
11115   1111_   1111_   1er (241,141)
11116   1111_   1111_   1er (241,141)
11122   11122   11122   Full House (246,415)
11123   111__   111__   1er (238,411)
11124   111__   111__   1er (238,411)
11125   111__   111__   1er (238,411)
11126   111__   111__   1er (238,411)
11133   11133   11133   Full House (246,415)
11134   111__   111__   1er (238,411)
11135   111__   111__   1er (238,411)
11136   111__   111__   1er (238,411)
11144   11144   11144   Full House (246,415)
11145   111__   111__   1er (238,411)
11146   111__   111__   1er (238,411)
11155   11155   11155   Full House (246,415)
11156   111__   111__   1er (238,411)
11166   11166   11166   Full House (246,415)
11222   222__   11222   Full House (246,415)
11223   22___   1122_   1er (235,438)
11224   22___   1122_   1er (235,438)
11225   22___   1122_   1er (235,438)
11226   22___   1122_   1er (235,438)
11233   33___   1133_   1er (235,438)
11234   1234_   1234_   kleine Straße (238,810)
11235   5____   11___   1er (235,438)
11236   6____   11___   1er (235,438)
11244   44___   44___   1er (235,438)
11245   245__   11___   1er (235,438)
11246   4____   11___   1er (235,438)
11255   55___   55___   1er (235,438)
11256   5____   11___   1er (235,438)
11266   66___   66___   1er (235,438)
11333   333__   11333   Full House (246,415)
11334   33___   1133_   1er (235,438)
11335   33___   1133_   1er (235,438)
11336   33___   1133_   1er (235,438)
11344   44___   44___   1er (235,438)
11345   345__   345__   1er (235,438)
11346   34___   11___   1er (235,438)
11355   55___   55___   1er (235,438)
11356   5____   11___   1er (235,438)
11366   66___   66___   1er (235,438)
11444   444__   444__   Full House (246,415)
11445   44___   44___   1er (235,438)
11446   44___   44___   1er (235,438)
11455   55___   55___   1er (235,438)
11456   5____   11___   1er (235,438)
11466   66___   66___   1er (235,438)
11555   555__   555__   Full House (246,415)
11556   55___   55___   1er (235,438)
11566   66___   66___   1er (235,438)
11666   666__   666__   Full House (246,415)
12222   2222_   2222_   2er (246,401)
12223   222__   222__   2er (240,708)
12224   222__   222__   2er (240,708)
12225   222__   222__   2er (240,708)
12226   222__   222__   2er (240,708)
12233   33___   33___   2er (234,850)
12234   1234_   1234_   kleine Straße (238,810)
12235   22___   22___   2er (234,850)
12236   22___   22___   2er (234,850)
12244   44___   44___   2er (234,850)
12245   22___   22___   2er (234,850)
12246   22___   22___   2er (234,850)
12255   55___   55___   2er (234,850)
12256   22___   22___   2er (234,850)
12266   66___   66___   2er (234,850)
12333   333__   333__   3er (241,794)
12334   33___   1234_   kleine Straße (238,810)
12335   33___   33___   3er (233,000)
12336   33___   33___   3er (233,000)
12344   44___   1234_   kleine Straße (238,810)
12345   12345   12345   große Straße (253,474)
12346   1234_   1234_   kleine Straße (238,810)
12355   55___   55___   1er (232,676)
12356   5____   235__   1er (232,676)
12366   66___   66___   1er (232,676)
12444   444__   444__   4er (242,369)
12445   44___   44___   1er (232,676)
12446   44___   44___   1er (232,676)
12455   55___   55___   1er (232,676)
12456   245__   456__   1er (232,676)
12466   66___   66___   1er (232,676)
12555   555__   555__   5er (242,831)
12556   55___   55___   1er (232,676)
12566   66___   66___   Chance (232,686)
12666   666__   666__   6er (243,279)
13333   3333_   3333_   3er (250,521)
13334   333__   333__   3er (241,794)
13335   333__   333__   3er (241,794)
13336   333__   333__   3er (241,794)
13344   44___   44___   3er (233,000)
13345   33___   33___   3er (233,000)
13346   33___   33___   3er (233,000)
13355   55___   55___   3er (233,000)
13356   33___   33___   3er (233,000)
13366   66___   66___   3er (233,000)
13444   444__   444__   4er (242,369)
13445   44___   44___   1er (232,676)
13446   44___   44___   1er (232,676)
13455   55___   55___   1er (232,676)
13456   3456_   3456_   kleine Straße (238,810)
13466   66___   66___   Chance (232,686)
13555   555__   555__   5er (242,831)
13556   55___   55___   Chance (232,686)
13566   66___   66___   Chance (233,686)
13666   666__   666__   6er (243,279)
14444   4444_   4444_   4er (254,068)
14445   444__   444__   4er (242,369)
14446   444__   444__   4er (242,369)
14455   55___   55___   1er (232,676)
14456   44___   44___   Chance (232,686)
14466   66___   66___   Chance (233,686)
14555   555__   555__   5er (242,831)
14556   55___   55___   Chance (233,686)
14566   66___   66___   Chance (234,686)
14666   666__   666__   6er (243,279)
15555   5555_   5555_   5er (257,370)
15556   555__   555__   5er (242,831)
15566   66___   66___   Chance (235,686)
15666   666__   666__   6er (243,279)
16666   6666_   6666_   6er (261,059)
22222   22222   22222   Kniffel (278,209)
22223   2222_   2222_   2er (246,401)
22224   2222_   2222_   2er (246,401)
22225   2222_   2222_   2er (246,401)
22226   2222_   2222_   2er (246,401)
22233   222__   22233   Full House (246,415)
22234   222__   222__   2er (240,708)
22235   222__   222__   2er (240,708)
22236   222__   222__   2er (240,708)
22244   222__   22244   Full House (246,415)
22245   222__   222__   2er (240,708)
22246   222__   222__   2er (240,708)
22255   222__   22255   Full House (246,415)
22256   222__   222__   2er (240,708)
22266   222__   22266   Full House (246,415)
22333   333__   22333   Full House (246,415)
22334   33___   33___   2er (234,850)
22335   33___   33___   2er (234,850)
22336   33___   33___   2er (234,850)
22344   44___   44___   2er (234,850)
22345   2345_   2345_   kleine Straße (238,810)
22346   234__   234__   2er (234,850)
22355   55___   55___   2er (234,850)
22356   22___   22___   2er (234,850)
22366   66___   66___   2er (234,850)
22444   444__   444__   Full House (246,415)
22445   44___   44___   2er (234,850)
22446   44___   44___   2er (234,850)
22455   55___   55___   2er (234,850)
22456   22___   22___   2er (234,850)
22466   66___   66___   2er (234,850)
22555   555__   555__   Full House (246,415)
22556   55___   55___   2er (234,850)
22566   66___   66___   2er (234,850)
22666   666__   666__   Full House (246,415)
23333   3333_   3333_   3er (250,521)
23334   333__   333__   3er (241,794)
23335   333__   333__   3er (241,794)
23336   333__   333__   3er (241,794)
23344   44___   44___   3er (233,000)
23345   2345_   2345_   kleine Straße (238,810)
23346   33___   33___   3er (233,000)
23355   55___   55___   3er (233,000)
23356   33___   33___   3er (233,000)
23366   66___   66___   3er (233,000)
23444   444__   444__   4er (242,369)
23445   2345_   2345_   kleine Straße (238,810)
23446   44___   44___   Chance (231,686)
23455   2345_   2345_   kleine Straße (238,810)
23456   23456   23456   große Straße (253,474)
23466   66___   66___   Chance (233,686)
23555   555__   555__   5er (242,831)
23556   55___   55___   Chance (233,686)
23566   66___   66___   Chance (234,686)
23666   666__   666__   6er (243,279)
24444   4444_   4444_   4er (254,068)
24445   444__   444__   4er (242,369)
24446   444__   444__   4er (242,369)
24455   55___   55___   Chance (232,686)
24456   44___   44___   Chance (233,686)
24466   66___   66___   Chance (234,686)
24555   555__   555__   5er (242,831)
24556   55___   55___   Chance (234,686)
24566   66___   66___   Chance (235,686)
24666   666__   666__   6er (243,279)
25555   5555_   5555_   5er (257,370)
25556   555__   555__   5er (242,831)
25566   66___   66___   Chance (236,686)
25666   666__   666__   Dreierpasch (243,868)
26666   6666_   6666_   6er (261,059)
33333   33333   33333   Kniffel (278,209)
33334   3333_   3333_   3er (250,521)
33335   3333_   3333_   3er (250,521)
33336   3333_   3333_   3er (250,521)
33344   333__   33344   Full House (246,415)
33345   333__   333__   3er (241,794)
33346   333__   333__   3er (241,794)
33355   333__   33355   Full House (246,415)
33356   333__   333__   3er (241,794)
33366   333__   33366   Full House (246,415)
33444   444__   444__   Full House (246,415)
33445   44___   44___   3er (233,000)
33446   44___   44___   3er (233,000)
33455   55___   55___   3er (233,000)
33456   33___   3456_   kleine Straße (238,810)
33466   66___   66___   Chance (234,686)
33555   555__   555__   Full House (246,415)
33556   55___   55___   Chance (234,686)
33566   66___   66___   Chance (235,686)
33666   666__   666__   Full House (246,415)
34444   4444_   4444_   4er (254,068)
34445   444__   444__   4er (242,369)
34446   444__   444__   4er (242,369)
34455   55___   55___   Chance (233,686)
34456   44___   3456_   kleine Straße (238,810)
34466   66___   66___   Chance (235,686)
34555   555__   555__   5er (242,831)
34556   55___   3456_   kleine Straße (238,810)
34566   66___   3456_   kleine Straße (238,810)
34666   666__   666__   Dreierpasch (243,868)
35555   5555_   5555_   5er (257,370)
35556   555__   555__   Dreierpasch (242,868)
35566   66___   66___   Chance (237,686)
35666   666__   666__   Dreierpasch (244,868)
36666   6666_   6666_   6er (261,059)
44444   44444   44444   Kniffel (278,209)
44445   4444_   4444_   4er (254,068)
44446   4444_   4444_   4er (254,068)
44455   444__   444__   Full House (246,415)
44456   444__   444__   4er (242,369)
44466   444__   444__   Full House (246,415)
44555   555__   555__   Full House (246,415)
44556   55___   55___   Chance (236,686)
44566   66___   66___   Chance (237,686)
44666   666__   666__   Full House (246,415)
45555   5555_   5555_   5er (257,370)
45556   555__   555__   Dreierpasch (243,868)
45566   66___   66___   Chance (238,686)
45666   666__   666__   Dreierpasch (245,868)
46666   6666_   6666_   6er (261,059)
55555   55555   55555   Kniffel (278,209)
55556   5555_   5555_   5er (257,370)
55566   555__   555__   Full House (246,415)
55666   666__   666__   Dreierpasch (246,868)
56666   6666_   6666_   6er (261,059)
66666   66666   66666   Kniffel (278,209)

Berechnung mit Hilfe eines Computer-Programms für optimale Kniffel-Strategien

Unter den 252 Ausgangskombinationen befindet sich 30-mal ein Full House.
Verblüffend ist, dass nach dem ersten Wurf entsprechend der optimalen Strategie in 25 Fällen das Full House wieder zerstört werden muss.
In einem Fall wird das Full House sogar als Dreierpasch eingetragen. Auch unter den 14 Fällen für eine kleine Straße muss diese 6-mal wieder zerstört werden.
Sehr verblüffend ist auch, dass keiner der 30 Viererpaschs als Viererpasch eingetragen wird. Alle diese verblüffenden Strategien sind rot gekennzeichnet.


Copyright © Werner Brefeld, 2007 ... 2021 (Originalquelle)

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