Imaginäre Zahlen und imaginäre Einheit Fragen (werden beantwortet) und Bemerkungen gerne an: werner.brefeld@web.de Adresse: Wittland 55c, 22589 Hamburg; Themenübersicht auf der Hauptseite: Mathematik im Alltag Verblüffende Mathematik-Rätsel Stochastik und Polyeder Irdisches und außerirdisches Leben

9. Was ist das Ergebnis von Wurzel(iⁱ), wenn i die imaginäre Einheit ist?

Man geht von der Eulerschen Identität aus:

e^i·φ = cos(φ) + i·sin(φ)

Für φ wird 90° = π/2 in die Gleichung eingesetzt:

e^i·π/2 = cos(π/2) + i·sin(π/2)

Nach Berechnung des Cosinus und Sinus ergibt sich:

e^i·π/2 = 0 + i·1 = i

Die Gleichung wird auf beiden Seiten mit i potenziert:

iⁱ = (e^i·π/2)ⁱ = e^–π/2

Dann wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen:

Wurzel(iⁱ) = Wurzel(e^–π/2) = e^–π/4 = 0,45593813

Der Ausdruck Wurzel(iⁱ) beschreibt also eine reelle Zahl. Ihr Wert beträgt ungefähr 0,45593813.

Was ist verblüffend an diesem Mathematik-Rätsel? Intuitiv glauben viele, dass diese Aufgabe nicht lösbar sei, weil (iⁱ) eine komplexe Zahl sei, aus der man keine Wurzel ziehen kann.


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