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Welches sind die günstigsten Seitenverhältnisse für rechteckige Papierblätter und Briefumschläge? Warum ist das Verhältnis der Seiten eines DIN-Papiers gleich Wurzel aus 2?

DIN-Formate (Rechtecke nach der DIN-Norm)

Günstig ist das Seitenverhältnis eines Blattes dann, wenn man es so in der Mitte durchschneiden kann, dass die zwei entstehenden gleichen Blätter dem Ausgangsblatt ähnlich sind.

Wegen der geforderten Ähnlichkeit muss also das Verhältnis der längeren Seite a zu kürzeren Seite b des Ausgangsblattes gleich dem Verhältnis der längeren Seite c zur kürzeren Seite d eines der beiden gleichen neu entstandenen Blätter sein: a / b = c / d

Außerdem ist die Seite c identisch mit der Seite b und wegen des Durchschneidens ist die Seite d genau halb so lang wie die Seite a. Somit ist c = b und d = a/2 und es gilt die Beziehung: a / b = b / (a/2)

Umgeformt ergibt sich: a² = 2 · b²

Die Seite a ist dann: a = b · Wurzel(2)

Und für die Seite b gilt: b = a / Wurzel(2)

Das Verhältnis x von kürzerer zu längerer Seite ist demnach: x = b / a = 1 : Wurzel(2) = 1 : 1,414214

Die Seite a ist also um den Faktor Wurzel(2) länger als die kürzere Seite. Schneidet man die beiden entstandenen Blätter in gleicher Weise durch, bekommt man immer kleinere ähnliche Blätter, die sich vom jeweiligen vorherigen Blatt um einen Faktor Wurzel(2) in den Seitenlängen unterscheiden. Schließlich besitzt man lauter gleiche Blätter, die dem Ausgangsblatt ähnlich sind. Schneidet man jedoch von den jeweils entstehenden beiden Blättern nur eines durch, bekommt man eine Serie von immer kleiner werdenden gleichzeitig vorhandenen Blättern, die alle einander ähnlich sind. Jeder einzelne Schnitt erzeugt also ein neues ähnliches Blatt, wie man aus der folgenden Abbildung erkennt:

Legt man noch zusätzlich die Fläche des Ausgangsblattes mit F_DIN-A0 = a · b = 1 m² fest, hat man ein sogenanntes DIN-A0-Blatt definiert, von dem ausgehend alle weiteren DIN-Blätter hergestellt werden können. Die Länge der Seiten a und b eines DIN-A0-Blattes errechnet man dadurch, dass man in der Gleichung für F_DIN-A0 die Seitenlänge b durch a / Wurzel(2) ersetzt:

F_DIN-A0 = a · a / Wurzel(2) = 1 m²

Dann ist: a² = Wurzel(2) m²

Die Länge von a beträgt also: a = Wurzel(Wurzel(2)) m = 1,189207 m

Für die Seite b gilt dann: b = a / Wurzel(2) = 1 / Wurzel(Wurzel(2)) m = 0,840896 m

Die folgende Tabelle enthält für die 8 größten DIN-A-Blätter die Seitenlängen und Flächen, die sich ergeben, wenn man mathematisch exakt rechnet. Nach DIN werden allerdings diese genauen Werte auf ganze Millimeter gerundet:

Für die Umschlagformate DIN-B0 und DIN-C0 gelten die gleichen Überlegungen, nur die Flächen sind anders definiert:

F_DIN-B0 = Wurzel(2) m² = 1,4142 m²

F_DIN-C0 = Wurzel(Wurzel(2)) m² = 1,1892 m²

Wenn man als Ausgangsblatt ein DIN-Blatt verwendet, kann man also eine Serie von immer kleiner werdenden DIN-Blättern bekommen, wenn man es immer weiter in der Mitte durchschneidet.


Goldene Rechtecke (Rechtecke nach dem Goldenen Schnitt)

Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, durch Abschneiden mit jeweils nur einem Schnitt eine Serie von immer kleiner werdenden und gleichzeitig vorhandenen einander ähnlichen Blättern zu erzeugen, bei denen die Länge der kürzeren Seite eines Blattes gleich der Länge der längeren Seite des nächst kleineren Blattes ist. Allerdings muss man die Bedingung aufgeben, dass der Schnitt in der Mitte des jeweiligen Blattes zu erfolgen hat. Die neue Serie von Blättern entsteht vielmehr dadurch, dass jeweils ein Goldener Schnitt ausgeführt wird. Das Verhältnis x der kürzeren Seite b zur längeren Seite a der dabei entstehenden goldenen Rechtecke ist gleich dem Verhältnis der größeren Seite zur Summe aus kürzerer und längerer Seite:

x = b / a = a / (a + b)

Umgeformt: (b / a) · (a + b) / a = 1

Weiter umgeformt: (b / a) · (b / a + 1) = 1

Also gilt: x · (x + 1) = 1

Umgeformt: x² + x = 1

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ergibt das Seitenverhältnis der Blätter:

x = b / a = 1 : (½ + ½·Wurzel(5)) = 1 : 1,618034

Wie man aus den beiden Abbildungen erkennt, besitzt so ein Goldenes Rechteck ein deutlich anderes Seitenverhältnis als ein DIN-Rechteck:

Man sieht außerdem, dass die Form des Ausgangsblattes hier weder ein DIN-Rechteck oder gar ein Goldenes Rechteck, sondern entweder ein Quadrat oder ein Rechteck mit einem Seitenverhältnis von 1 : (1 + ½ + ½·Wurzel(5)) = 1 : 2,618034 ist. Nimmt man als Ausgangsblatt ein Quadrat, entsteht nach Abschneiden eines Goldenen Rechtecks ein Blatt mit dem Seitenverhältnis von 1 : 2,618034. Schneidet man von diesem Blatt wieder ein Goldenes Rechteck ab, bleibt wieder ein Quadrat übrig usw.. Nimmt man dagegen als Ausgangsblatt ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1 : 2,618034, ist es genau umgekehrt. Die Form der Blätter, von denen die Goldenen Rechtecke abgeschnitten werden, wechselt also immer.

Legt man jeweils die Fläche der beiden Ausgangsblätter (wie beim DIN-A0-Blatt) mit 1 m² fest, so sind beim Quadrat natürlich beide Seiten jeweils 1 m lang, während beim zweiten Ausgangsblatt (Rechteck) für die längere Seite a gilt:

a · a / (1 + ½ + ½·Wurzel(5)) m²

a = ( ½ + ½·Wurzel(5)) m = 1,618034 m

b = (-½ + ½·Wurzel(5)) m = 0,618034 m

Die folgende Tabelle enthält die beiden Ausgangsblätter und die daraus durch den Goldenen Schnitt entstehenden 6 größten Goldenen Rechtecke (G1 bis G6):

Weitere Möglichkeiten, eine Serie von immer kleiner werdenden einander ähnlichen Blättern mit jeweils nur einem Schnitt zu erzeugen, die den obigen Bedingungen genügen, gibt es nicht.

Beweis: Die folgenden nicht maßstäblichen Zeichnungen zeigen, wie man von einem rechteckigen Ausgangsblatt die ersten beiden Blätter einer jeweiligen Serie abschneiden kann. Es gibt nur 4 mögliche Fälle. Um die Orientierung dieser Blätter zu veranschaulichen, sind jeweils Pfeile parallel zu den längeren Seiten dieser Blätter eingefügt. Die Seitenlängen sind ebenfalls aufgenommen. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit hat die längere Seite des ersten Blattes die Länge 1. x bezeichnet eine reelle Zahl kleiner als 1 und größer als 0.

Wie man erkennt, liegen in den ersten 3 Fällen auch schon die Abmessungen der Ausgangsblätter fest. Im Fall 4 muss man noch die beiden Möglichkeiten zum Abschneiden des dritten Blattes der jeweiligen Serie berücksichtigen, um die Abmessungen des jeweiligen Ausgangsblattes festlegen zu können. Insgesamt gibt es also nur 5 Möglichkeiten, die Abmessungen und damit auch die Flächen der Ausgangsblätter festzulegen. Die Gesamtfläche aller Blätter einer Serie liegt ebenfalls fest. Sie beträgt

(1 · x) + (x · x²) + (x² · x³) + ... = x + x³ + x⁵ + ... = x · (1 + x² + x⁴ + ...) = x / (1 – x²)

Da diese Gesamtfläche mit der Fläche des jeweiligen Ausgangsrechtecks übereinstimmen muss, ergeben sich 5 Gleichungen, die zu maximal 5 möglichen Serien führen können:

Fall 1: x / (1 – x²) = 1 · (x + x); x² = 1/2 (x = Seitenverhältnis der DIN-Blätter)

Fall 2: x / (1 – x²) = 1 · (x² + x); x² + x – 1 = 0 (x = Seitenverhältnis des Goldenen Rechtecks)

Fall 3: x / (1 – x²) = x · (x + 1); x² + x – 1 = 0 (x = Seitenverhältnis des Goldenen Rechtecks)

Fall 4a: x / (1 – x²) = x · (x² + x² + 1); x² = 1/2 (x = Seitenverhältnis der DIN-Blätter)

Fall 4b: x / (1 – x²) = x · (x³ + x² + 1); x² + x – 1 = 0 (x = Seitenverhältnis des Goldenen Rechtecks)

Wie man sieht, sind nur 2 Serien möglich. Die eine Serie würde aus Blättern mit dem Seitenverhältnis der DIN-Blätter, die andere Serie aus Goldenen Rechtecken bestehen. Wie oben gezeigt, lassen sich diese beiden Serien tatsächlich realisieren.


Hier sei noch eine interessante Frage erwähnt. Kann man auf einem DIN-Papier ein Bild in Form eines Goldenen Rechtecks so platzieren, dass gleichzeitig ein überall gleich breiter Rand bleibt? Das ist tatsächlich möglich. Bei einem DIN-A4-Papier beispielsweise muss man einen Rand mit einer Breite von
1/32 · vierte Wurzel(2) · (Wurzel(18) + Wurzel(10) – Wurzel(20) – 2) m = 3,4665 cm freilassen.
Das Bild ist dann 22,7972 cm hoch und 14,0894 cm breit und besitzt das Seitenverhältnis des Goldenen Schnitts.


Weitere mögliche Rechtecke

Wenn allerdings die Blätter einer Serie durch mehr als einen Schnitt vom Ausgangsblatt abgetrennt werden dürfen, dann gibt es mindestens noch zwei weitere Möglichkeiten. Bei der ersten Möglichkeit haben die Blätter der Serie ein Seitenverhältnis x von 1 : Wurzel(½ + ½·Wurzel(5)) = 1 : 1,272020.

Das entspricht der Lösung der Gleichung x⁴ + x² = 1 und ist gleich der Wurzel aus dem Goldenen Schnitt.
In der dargestellten Abbildung hat das Ausgangsblatt ebenfalls das Seitenverhältnis von 1 : 1,272020.
Allerdings kann man auch ein rechteckiges Blatt mit einem Seitenverhältnis x von 1 : Wurzel(11/2 + 5/2·Wurzel(5)) = 1 : 3,330191 als Ausgangsblatt verwenden.

Die zweite Möglichkeit ergibt ein Seitenverhältnis x von 1 : 1,130685 für die Blätter der Serie.

Dies entspricht der Lösung der Gleichung x⁶ + x⁴ + x³ – x² = 1.
Die letzte Abbildung zeigt eine solche Serie, wobei ein rechteckiges Ausgangsblatt immer ein Seitenverhältnis von 1 : 1,278449 hat.
Das entspricht dem Quadrat der Seitenverhältnisse der abgetrennten Blätter.

Goldene Quader (Quader nach dem Goldenen Schnitt)

Die Überlegungen kann man auch auf den dreidimensionalen Fall übertragen. Gesucht wird hier ein Quader, von dem man mit jeweils einem Schnitt eine Serie von immer keiner werdenden einander ähnlichen Quadern abschneiden kann, bei denen die kleinste Fläche gleich der größten Fläche des nächst kleineren Quaders ist. Dazu muss das Verhältnis der kürzesten zur mittleren Seite gleich dem Verhältnis der mittleren zur längsten Seite ist. Als einzige Lösung ergeben sich Quader, deren Seitenverhältnisse 1 : dritte Wurzel(2) = 1 : 1,259921 betragen.

Wie bei den DIN-Blättern erfolgt der Schnitt auch bei den Quadern immer durch die Mitte der längsten Seiten. Man könnte deshalb hier auch von "DIN"-Quadern sprechen. Bemerkenswerterweise hat auch der Ausgangsquader die gleichen Seitenverhältnisse.

Dagegen ist ein Goldener Quader, der sich dadurch auszeichnet, dass sowohl das Verhältnis von kürzester zu mittlerer als auch von mittlerer zu längster Seite dem Verhältnis des Goldenen Schnitts entspricht, keine Lösung für den dreidimensionalen Fall. Ein Goldener Quader erfüllt die geforderten Bedingungen nicht.


Links zum Thema:

Jürgen Köller: Papierformat A4


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